Primero mándame una version corregida con todo bien escrito tal cual te describí en el anterior email. No tiene sentido tener ninguna reunión hasta que eso este solucionado, porque discutimos una y otra vez sobre lo mismo.

Sobre avanzar en el trabajo, por ahora me resulta bastante difícil hasta que no hayas entendido al detalle el primer artículo. Como te he dicho, todo el resto se construye desde allí.

El plan del trabajo lo tengo muy claro, y si te da tranquilidad te lo describo. Pero como te digo, ahora mismo estás muy lejos de poder abordarlo.

1. La introducción que hace Valdinocci al tema es meramente formal. No hay nada riguroso. Me explico: Cuando pasas h,\tau a 0 para ver la convergencia de la ecuación discreta a la continua, ahí tienes que asumir una regularidad sobre la función $u$. Nuestro objetivo final es demostrar lo que hace Valdinocci de manera rigurosa. Por eso te he pedido que me supieras demostrar el teorema de convergencia de las discretizaciones de manera muy precisa, diciendo exactamente cual es la regularidad.

2. Tenemos que repetir este teorema de convergencia para las discretizaciones del Laplaciano fraccionario, que es justamente lo que le sale a Valdinocci en el camino aleatorio. Esto nos dirá exactamente la regularidad de las soluciones de la ecuación del calor que vamos a necesitar

3. Luego vamos a interpretar las ecuaciones del camino aleatorio de Valdinocci como un método numérico. Aquí hacemos una conexión muy bonita entre probabilidad y cálculo numérico. Aquí empezaremos a estudiar las propiedades a nivel discreto del método numérico.

4. Luego demostraremos que la solución método numérico converge (en un cierto sentido que tendremos que discutir) a la solución (ya te diré si es la solución fuerte o débil, dependerá del ritmo que lleves) de la ecuación del calor fraccionario. Para ello necesitamos el resultado de la parte 2, más algunas técnicas de numérico que te contaré cuando llegue el momento. Daremos condiciones específicas sobre el dato inicial de la ecuación del calor para que converja (esto se traducirá en un teorema de convergencia de la ecuación de probabilidad de Valdinocci, con una condición de regularidad necesaria sobre el la distribución de partículas que saltan).

Esto termina la parte teórica del trabajo, si todo va bien. Si quieres más parte teórica, estudiaremos otras discretizaciones del Laplaciano fraccionario, pero no habrá que repetir nada de lo anterior porque las mismas pruebas valdrán.

Luego haremos simulaciones numéricas de todo esto.

a. Primero enseñaremos una gráficas de que pinta tiene la solución del calor fraccionaria.

b. Luego haremos unos estudios de los errores que se comete dependiendo de $h$.


Como ves, hay un programa muy bien establecido, pero para eso necesito estar seguro de que has entendido absolutamente todos los detalles del paper de Valdinocci. Si no, no hay manera de que podamos llevar todo esto a cabo.